L'Entropie c'est quoi ?
Posté par alpheccar le11 Fév 2005 à 22:07 CEST
L'Entropie, on en parle souvent, surtout dans les livres de science-fiction, mais c'est quoi au juste ? Et à quoi cela sert-il ? Vous allez voir que ce n'est pas si compliqué que cela même s'il a fallu des années pour vraiment clarifier ce concept.
Macroétat et microétat
Considérez un verre d'eau. L'eau occupe un certain volume. Elle a une certaine température. Elle est soumise à une certain pression (atmosphérique). Ces contraintes (volume, température, pression) définissent un macroétat. Un état macroscropique que vous pouvez facilement caractériser. Mais, un macroétat ignore une quantité considérable de détails. Par exemple: si une molécule d'eau a une vitesse légèrement différente, ou une position légèrement différente, vous obtenez le même macroétat. Ainsi, à un même macroétat correspondent des milliard de configurations moléculaires différentes que l'on nomme microétats.
Un macroétat correspond à plusieurs microétats différents. L'espace de toutes les configurations moléculaires, de tous les microétats, se nomme espace des phases. Le macroétat est donc caractérisé par un certain volume dans cet espace des phases : le volume qui contient tous les microétats correspondant à ce macroétat.
Pour être plus clair, voici un premier exemple avec une pièce de monnaie. Vous la lancez trois fois et vous comptez le nombre de "face". Ce nombre de "face" est le macroétat. Le macroétat qui correspond à "1 face et 2 piles" correspond à 3 microétats : FPP, PFP, PPF.
Le physicien voudrait prédire, dans des conditions données, quel macroétat va être observé.
Modèle simplifié
Compliquons le modèle. Au lieu d'une pièce avec face ou pile, considérons un objet qui peut prendre plusieurs valeurs : 0,1,2 etc... Disons qu'il s'agit de niveaux d'énergie. Si vous avez 3 des ces objets, cherchons à réaliser des macroétats d'énergie 0,1,2,3 ...
- Pour 0, il n'y a qu'un microétat possible : 0,0,0
- Pour 1, il y a 3 microétats possibles : 1,0,0 et 0,1,0 et 0,0,1
- Pour 2 il y a 6 microétats possibles : 2,0,0 et 1,1,0 etc...
Maintenant, considérez que vous avez 6 objets de ce type. Vous séparez votre système en deux parties A et B. La première contient 3 objets et la deuxième 3 objets.
Vous imposez la contrainte que l'énergie totale du système A + B est conservée et vaut 6. Et, vous cherchez de combien de façons on peut réaliser un macroétat du système A. Par exemple, si l'énergie totale est fixée à 6 et que l'énergie de A est e_a=0 alors l'énergie de B est e_b=6. Il n'y a qu'une façon de réaliser le macroétat 0 pour A et c'est 0,0,0 comme vu précédemment. Mais il y a alors 28 façons de réaliser le macroétat 6 pour le système B.
Avec e_a=1 et e_b=5 vous obtenez 3 façon de réaliser l'état pour A et 21 façons pour B donc ce macroétat de A+B peut-être réalisé de 63 façons différentes (3*21). En recommençant pour e_a=2, ..., e_a=6 vous réalisez que l'état e_a=3 et e_b=3 peut-être réalisé de 100 façons différentes et c'est le maximum. Donc, il y a un macroétat qui peut-être réalisé d'un nombre de façons plus grand que tous les autres macroétats.
L'entropie
Maintenant, si on recommence l'exercice précédent avec 500 objets au-lieu de 6 et une énergie maximum de 100, on trouve que le macroétat qui peut-être réalisé du plus grand nombre de façons différentes peut-être réalisé de 7\ 10^{144} façons (10 suivit de 144 zéros !) et correspond à e_a=60 et e_b=40. Mais ce n'est pas la grandeur de ce résultat qui est clef. Ce qui est clef c'est quand on compare avec les autres macroétats. On voit que le ratio devient rapidement énorme lorsqu'on s'éloigne du macroétat d'énergie e_a=60. Par exemple, le ratio entre le microétat e_a=60 et le macroétat e_a=0 est de l'ordre de 10^{33} !! Autrement dit, le macroétat e_a=60 peut-être réalisé d'un nombre de façons différentes qui est beaucoup beaucoup plus grand que pour les autres macroétats. Et nous n'avons que 500 objets. Dans des systèmes physiques ayant un poids de l'ordre du gramme, le nombre d'objets est de l'ordre de 10^{24} !
Autrement dit, dans un système physique, il existe un macroétat qui peut-être réalisé d'un nombre de façons tellement plus grand que les autres, que ce macroétat occupe pratiquement tout le volume de l'espace des phases qui est défini par les contraintes imposées au système. Donc, on peut-être certain, sans même connaître en détail se qui se passe au niveau des microétats, que l'évolution du système va faire que, très rapidement, son macroétat va être celui qui peut-être réalisé du plus grand nombre de façons. Car il faudrait des contraintes très fortes sur le système pour qu'il en soit autrement. Ces contraintes devraient forcer le système à rester dans une région de l'espace des phases qui a un volume quasi nul.
L'entropie mesure de combien de façons on peut réaliser un macroétat. Chercher le maximum d'entropie revient à chercher l'état qui peut-être réalisé du plus grand nombre de façons.
Les nombres en jeu sont si grands que plutôt que de devoir manipuler des grandeurs comme 10^{133}, on s'intéresse à l'exposant : 113. C'est pour cela que la définition de l'entropie contient un logarithme. S = ln(N) où N est le nombre de façons de réaliser le macroétat et S le symbole pour l'entropie (E étant déjà pris pour l'énergie).
En physique on rajoute la constante de Boltzmann pour adapter les unités de température aux unités d'énergie :
Ainsi, le principe du maximum d'entropie n'est pas une loi fondamentale de l'univers. C'est plutôt une contrainte d'ordre mathématique, combinatoire. Ce n'en est pas pour autant que l'on peut contourner ce principe.
Conclusion
L'entropie permet donc de prédire l'état final d'un système soumis à certaines contraintes sans avoir besoin de déterminer réellement comment les microétats évoluent. La seule chose nécessaire est que le microétat doit évoluer alors, à moins de contraintes très fortes ayant été oubliées, il devra nécessairement se retrouver dans le macroétat de maximum d'entropie.
En physique statistique on impose des contraintes plus fortes (ergodicité) à l'évolution des microétats car on demande plus au final : on veut pouvoir calculer des moyennes, des variances etc...
Pour les lecteurs dont la culture physique est faible, je peux rephraser ce qui vient d'être dit ainsi : le microétat correspond à une description précise de la position et de l'état de tous les individus dans une société. L'évolution de ce microétat nécessite de prédire les comportements de chaque individu. Le macroétat correspondra à des contraintes macroscopiques (nombre d'individus dans la société, frontières etc...)
Le principe du maximum d'entropie va permettre de prédire la valeur de certaines contraintes à partir des autres sans même se demander comment les individus agissent, pourquoi ils agissent. Il suffit juste de savoir qu'ils agissent, et s'ils agissent de manière imprévisible c'est encore mieux. Le microétat devra forcément finir dans la zone de l'espace des phases qui correspond au maximum d'entropie. C'est une contrainte d'ordre combinatoire qui ne dépend pas du comportement des individus (ou très peu car il faut quand même pouvoir définir l'espace des phases pour compter les différents microétats).
Cette analogie n'a pas pour autre but que d'aider à comprendre l'entropie en utilisant un vocabulaire plus familier. Cela n'implique pas que l'on peut appliquer le concept à l'étude des sociétés. C'est certes très tentant car on n'a finalement pas beaucoup d'hypothèses à faire sur les individus. Mais encore faut-il trouver les contraintes macroscopiques adéquates et ne pas en oublier...
