Théorie des schémas
Posté par alpheccar le25 Jun 2005 à 11:17 CEST
La dualité algèbre-géométrie permet de généraliser la notion de forme géométrique et obtenir ce qu’on nomme un schéma.
Dans mon texte sur la géométrie non-commutative j’avais indiqué que dans de nombreuses situations en maths, il est possible d’établir une dualité entre la géométrie et l’algèbre. Cette dualité repose sur une algèbre de fonctions qui remplace l’étude des points. Cette dualité a été mise en évidence la première fois avec la géométrie algébrique qui étudie les solutions des systèmes d’équations polynomiales.
Par exemple, les équations de ces systèmes pourront être xyz+1=0 , x^2-xy+5 = 10 etc...
Un système d’équations linéaires (ax+by+cz + ...) encode des objets géométriques comme le point, la ligne, le plan, l’hyperplan etc... Un système d’équations polynomiales encode des objets appelés variétés algébriques dont vous connaissez des exemples célèbres : le cercle, la parabole, l’hyperbole ...
On associe à un système linéaire un objet algébrique appelé espace vectoriel. Le but de ce texte est de comprendre quel objet algébrique est associé à un système d’équations polynomiales et de voir à quoi mènent les généralisations. Pour cela, je dois introduire un peu de vocabulaire mais cela restera assez simple. Ensuite, nous étudierons le cercle pour se faire une idée plus précise de la signification des définitions. Et pour finir, la généralisation de ces idées nous donnera la notion de schéma.
Vocabulaire
Idéaux
Un groupe de transformations est approximativement une structure algébrique où les transformations ne sont pas irréversibles et peuvent être inversées. Exemple : Z. Si vous additionnez un nombre, vous pouvez ensuite le soustraire et annuler ainsi la transformation.
Un anneau est en gros une structure algébrique où il existe deux types de lois qui cohabitent bien entre elles et où la première peut-être inversée. Exemple : Z avec l’addition et la multiplication.
Un idéal est d’abord un sous-anneau. 5Z (l’ensemble des multiples de 5) est un sous-anneau de Z. En effet, la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. Le produit de deux multiples de 5 est encore un multiple de 5.
Mais, 5Z a une autre propriété intéressante qui en fait un idéal : il est stable si on le multiplie par n’importe quoi car un multiple de 5 reste toujours un multiple de 5 si on le multiplie par n’importe quel entier.
Les idéaux se comportent beaucoup mieux que les entiers quand on fait de l’algèbre. Ils permettent de simplifier bien des choses.
Passage au quotient
Le quotient est une opération magique et très importante en maths : c’est l’opération qui permet d’oublier les détails qui ne nous intéressent pas sur des objets et sur des structures.
Imaginons que vous avez un ensemble d’objets et une loi T permettant de les combiner. Ce qui vous intéresse ce n’est pas l’objet en lui-même mais une certaine propriété qu’il peut avoir. Vous voudriez oublier tout le reste sauf cette propriété et identifier deux objets s’ils ont la même propriété. On dit alors que deux objets sont égaux modulo la propriété qui nous intéresse. Autrement dit : ils sont égaux en faisant abstraction de tous les détails qui ne vous intéressent pas.
Vous voudriez aussi que votre loi T puisse s’appliquer directement à la propriété qui vous intéresse sans passer par les objets.
Par exemple, au-lieu de calculer la propriété P de l’objet a T b (objet obtenu en combinant a et b avec la loi T), vous voudriez pouvoir calculer le résultat directement à partir de P(a) et P(b) grâce à une nouvelle loi T’ agissant directement sur la propriété qui vous intéresse: P(a T b) = P(a) T’ P(b).
Le passage au quotient de la loi T est ce qui vous permet d’obtenir ce résultat.
Pour prendre un exemple concret : Imaginons que ce qui vous intéresse c’est le reste de la division par 5. Deux objets sont égaux (modulo 5) s’ils ont le même reste lorsqu’on les divise par 5.
Maintenant, vous voulez calculer le reste de 147*251 par 5. Le passage au quotient vous permet de calculer ce reste directement avec le reste de la division de 147 par 5 et le reste de la division de 251 par 5. Le passage au quotient permet de créer une nouvelle loi de multiplication qui agit directement sur les restes sans avoir besoin de multiplier les nombres d’origine pour obtenir le résultat.
On obtient : 2 *’ 1 = 2.
L’espace quotient se note Z/5Z. Car deux nombres ont le même reste lorsqu’on les divise par 5 si leur différence et un multiple de 5 donc si elle appartient à l’idéal 5Z. 5Z se note aussi (5) : idéal engendré par 5.
Tout ce que je viens de dire fonctionne aussi avec les polynômes et on peut considérer, par exemple, l’ensemble quotient R[x]/(x-1) qui permet d’étudier les restes lorsqu’on divise par x-1.
Alors, à quoi tout cela peut-il bien servir ?
Le cercle
Fonctions sur le cercle
Un cercle de rayon 1 c’est la solution de l’équation x^2+y^2-1=0 sur R.
Suivant l’idée introduite dans le texte sur la géométrie non-commutative on va étudier les fonctions définies sur ce cercle plutôt que les points. On va se limiter aux fonctions polynomiales donc membres de R[x,y].
Deux fonctions polynomiales définissent la même fonction sur le cercle si elles donnent les mêmes valeurs sur le cercle (mais peuvent donner des valeurs différentes hors du cercle). Ainsi, la différence de ces deux fonctions s’annule sur le cercle. Cette différence est donc multiple de x^2+y^2-1.
Donc, les fonctions définies sur le cercle sont R[x,y]/(x^2+y^2-1). On oublie tous les détails qui ne nous intéressent pas : les valeurs hors du cercle.
Cet ensemble quotient est un anneau. Il y a donc des notions d’idéaux. Un idéal maximal est un idéal qui est le dernier avant l’anneau entier pour la relation d’inclusion.
Cet anneau permet de recréer une topologie pour le cercle et de reconstruire ses points.
En effet, sur une ligne (qui correspond à R[x]), un point b correspond au polynôme x-b. L’idéal engendré (x-b) a la propriété d’être maximal. Ainsi, les idéaux maxima permettent de reconstruire les points. Les idéaux maxima de R[x,y]/(x^2+y^2-1) permettent de retrouver le cercle.
Pour retrouver des “relations” topologiques entre les points, il faut considérer une autre notion : les idéaux premiers. L’ensemble de ces idéaux premiers permettent de construire une topologie pour l’ensemble des points précédemment définis.
En fait, R n’étant pas algébriquement clos, les idéaux maxima et premiers contiennent plus d’information. C’est-à-dire que pour retrouver le cercle défini sur R[x,y] il faut se restreindre et ne considérer que les points (au sens algébrique) rationnels sur R.
Les schémas
Un point sur la ligne correspond à l’anneau R[x]/(x-a). Mais, que peut alors bien signifier l’anneau R[x]/((x-a)^2). Dans ce second anneau, l’élément (x-a) n’est pas nul. Mais, il correspond bien à la fonction nulle sur le point.
Autrement dit, x-a n’appartient pas à cet anneau mais la fonction correspondante s’annule pourtant bien sur la variété étudiée. Pourtant cet anneau a un intérêt. Si je considère deux points, l’anneau correspondant sera R[x]/(x-a)(x-b). Si c’est deux points convergent l’un vers l’autre et vers le point 0, j’obtiendrai de façon géométrique R[x]/(x). R[x]/(x^2) signifie que l’on se souvient comment le point 0 a été obtenu : comme limite deux deux points convergeant vers 0.
Ainsi, considérer des anneaux plus généraux permet d’enrichir l’aspect géométrique en se souvenant de détails supplémentaires.
On définit alors pour tout anneau A:
- Spec A = Spectre de A = ensemble des idéaux premiers qui sont les points d’un nouvel objet géométrique appelé Schéma ;
- On construit une topologie sur Spec A : la topologie de Zariski qu’on peut définir grâce aux propriétés algébriques de A ;
Cela paraît abstrait mais cela simplifie les choses en permettant d’encoder plus d’informations. En outre, on peut ensuite faire de la géométrie sur des espaces plus bizarres. Par exemple, Spec Z contient tous les nombres premiers qui sont ses points. Et Spec Z[x] est encore plus intéressant.
