La transformée de Fourier
Posté par alpheccar le11 Jun 2005 à 17:45 CEST
La transformée de Fourier est un outil très utilisé par les ingénieurs et notamment ceux spécialisés en traitement du signal. Pourtant, j’ai parfois l’impression qu’ils sont une minorité à avoir réellement compris ce qu’est la transformée de Fourier et pourquoi elle est intéressante.
Pour la plupart, c’est un outil permettant de passer d’une représentation temporelle à une représentation fréquentielle du signal. Elle permet de calculer le spectre du signal. Intuitivement, c’est un peu comme ce que donne l’affichage de l’égaliseur sur une chaîne stéréo. Seulement, la transformée de Fourier donne toutes les fréquences pour tous les temps alors que l’égaliseur ne donne que le spectre pour une période limitée de temps. Ainsi, la transformée de Fourier c’est un peu comme si on superposait l’affichage de l’égaliseur pour tous les instants. Il faudrait introduire un fenêtre limitant la période de temps utilisée pour calculer la transformée de Fourier et faire ensuite glisser cette fenêtre sur le signal pour obtenir quelque chose qui ressemble à l’affichage de l’égaliseur d’une stéréo : un spectre qui dépend du temps. Mais alors se posent les questions du choix de la fenêtre, de la façon de la faire glisser et les réponses sont en général assez ad-hoc.
Alors, cette analogie n’est pas très utile finalement. En outre, l’oreille effectue une analyse qui est très différente de la transformée de Fourier et ce n’est pas en cherchant du coté de l’audio que l’on percera la véritable signification de la transformée de Fourier qui a d’ailleurs été inventée pour résoudre l’équation de propagation de la chaleur. D’un point de vue dimensionnel, il est vrai qu’on passe d’un espace où les fonctions dépendent du temps à un espace où elle dépendent d’une fréquence. Mais se focaliser sur cet aspect c’est passer à coté de la véritable signification de cette transformée.
Une autre façon de découvrir que les gens n’ont pas réellement compris le concept c’est de leur demander la transformée de Fourier pour une fonction bipériodique. Si la transformée de Fourier pour une fonction périodique est donnée par (en faisant abstraction des problèmes de convergence et constantes de normalisation):
alors les gens vous diront que pour une fonction bipériodique on a:
Ce qui d’un point de vue mathématique est une transformation correcte qui peut être inversée (moyennant les contraintes techniques d’usage) mais ce qui est souvent faux d’un point de vue physique. En effet, si votre fonction est définie sur un tore alors c’est correct. Mais, si la fonction est définie sur une sphère, elle est aussi bipériodique et pourtant la transformée précédente est incorrecte : elle ne respecte pas la symétrie du problème. Une sphère est bien plus symétrique qu’un tore et cela est reflété dans la transformée de Fourier par l’emploi d’harmonique sphériques à la place des produits d’exponentielles. L’analogie avec l’audio devient encore plus délicate.
Quel est donc finalement la véritable signification de la transformée de Fourier ?
C’est un outil qui permet d’étudier les opérateurs linéaires qui commutent avec les actions d’un groupe de symétrie.
Il y a plusieurs façons de donner un sens à cette phrase selon le degré de symétrie de l’espace considéré.
Mais souvent cela passe par la théorie des représentations de groupe et les caractères. Un caractère d’une représentation est une fonction du groupe vers les complexes et qui respecte la loi du groupe. Ces caractères permettent de construire une base orthogonale pour les fonctions définies sur le groupe (en utilisant les représentations irréductibles). Dans cette base, les opérateurs commutant avec les opérations du groupe ont une expression simple. Exprimer une fonction dans cette base c’est calculer sa transformée de Fourier.
Par exemple, dans le cas des translations temporelles, un opérateur commutant avec ces translations est un opérateur stationnaire donc un filtre. L’expression du filtre sur la base des caractères (qui sont dans ce cas des exponentielles complexes) est simple : c’est un scalaire pour chaque fréquence. C’est plus simple que l’opérateur de filtrage qui exprimé dans le domaine temporel fait usage du produit de convolution.
C’est de le domaine de l’analyse harmonique. Je conseille au lecteur intéressé de lire des textes sur le sujet car ce qui précède ne se veut, bien entendu, par du tout être une introduction rigoureuse au sujet. Le domaine est très intéressant et il existe de de nombreux liens avec la topologie et les équations aux dérivées partielles.
Posté par alpheccar le01 Jun 2007 à18:53 CEST
Je vous l'accorde : l'explication est succinte. Trop succinte. Et le sujet, difficile, mérite un développement beaucoup plus long. En outre, une explication succinte est forcément imprécise donc partiellement incorrecte même si l'idée générale est conservée.
Voici les mots clés : analyse harmonique, théorème de Peter-Weyl, dualité de Pontryagin.
Il est plus facile de trouver des textes en anglais sur ces sujets.
Pour comprendre ces sujets, le vocabulaire c'est celui de la théorie des représentations de groupe et pour les tranformées de Fourier continue, un peu d'algèbres de Lie.
Voilà, j'espère que cela vous aidera à comprendre. Le but de mon texte est finalement de stimuler la curiosité en disant : attention, la transformée de Fourier cache d'intéressantes mathématiques relatives aux notions de symétrie.
Posté par adriaenssens le01 Jun 2007 à13:09 CEST
Après lecture appronfondi du texte. L'explication semble avoir un sens mais qui m'est complétement opaque. Comment imaginer des operateurs qui commute par translation ?
Sans vouloir critiquer pour critiquer, ce qui ne serait vraiment pas raisonnable, c'est un peu comme regarder le film "PROF" avec patrick BRUEL ou l'on vous expliquer une idée assez pittoresque de l'ART avec l'existence de milliers de couche culotte de Paris jusqu'a Pekin.
Donc, c'est une vue de l'esprit assez difficile à imaginer. Il me semble qu'il aurait matière à developper quitte à faire des dessins simplifiés car il me semble que les lacunes sont plus de mon côté que de celui qui explique. Mais Le but d'un orateur, n'est il pas aussi de transmettre un savoir pour enrichir l'esprit et tiré vers lui ceux qui cherchent la connaissance. Aussi, y'aurait il un endroit sur le NET ou l'on puisse continuer à apprendre et comprendre le vocabulaire mathématique, pour ensuite permettre de décoder ce texte ?