Chaos et Constructivisme

Posté par alpheccar le19 Mar 2005 à 11:41 CEST

En discutant avec des amis ingénieurs, quel ne fut pas mon étonnement de découvrir que la théorie du Chaos ne faisait pas partie de leur culture de scientifique. Cela m’a d’autant plus choqué que je pense que cela devrait être connu de tout personne cultivée. Cela fait partie des grandes découvertes du siècle dernier qui obligent à plus de modestie quant aux possibilités de la science.

Le but de ce texte est donc d’exposer au profane ce qu’est le Chaos. Et, d’expliquer en quoi cela doit changer notre regard sur les tentatives constructivistes.

Chaos

L’équation logistique

Ne prenez pas peur même si cette partie est la plus compliquée ! Nous ne considérerons qu’une et une seule formule dans ce texte et elle est très simple:

C’est un générateur de nombres. Pour chaque valeur de a, on obtient un générateur différent. Prenons, par exemple a=1,8:

Et choisissons comme valeur de départ : x_0=0,8. On obtient alors:

Soit:

Réutilisons la formule pour obtenir le prochain nombre:

etc...

On remarque que, pour a=1,8, la suite de nombres converge vers 0,444 comme représenté sur le dessin ci-dessous:

Cette suite de nombres sera appelée dans la suite de ce texte la trajectoire.

Si l’on fait varier la valeur de a on obtient une convergence vers une valeur limite différente. Représentons cette limite sur un dessin en fonction de a. On obtient le dessin suivant:

Bifurcation

Pour a=3, il se produit un phénomène intéressant : une bifurcation !

Prenons a=3,1 et générons une suite de nombres à partir de x_0=0.1 pour voir ce que cela signifie:

...

Il n’y a plus un point limite mais deux ! Un cycle limite où l’on finit par passer d’un point limite à un autre indéfiniment. C’est plus visible dans le dessin suivant:

Si on trace ces cycles limites en fonction de a, on obtient le dessin suivant:

En a=3.449 se produit une autre bifurcation vers un cycle d’ordre 4:

et le processus continue. Tous les cycles dont l’ordre est une puissance de 2 sont obtenus avant la valeur a=3.57 et on obtient le dessin suivant:

Il se trouve que les bifurcations sont de plus en plus rapprochées. Si, b_k et la bifurcation numéro k alors le rapport:

tend vers la valeur 4.669 ... appelée constante de Feigenbaum. Cette valeur ne dépend pas de la formule utilisée au début de ce texte ! Elle est universelle et la même pour toutes les transformations unimodales !

Ca commence à être compliqué pour une formule qui ne contient que deux multiplications et une soustraction ... mais ce n’est que le début. Que se passe-t-il après cette valeur de 3.57 ?

Chaos

Nous allons maintenant essayer de comprendre ce que représente ce schéma. Il est clair qu’après a=3.57, les cycles semblent avoir disparus.

Faisons un zoom sur une partie du diagramme:

On remarque que pour chaque tranche du diagramme (a fixé) le cycle limite est remplacé par une portion de l’intervalle [0,1]. Cette portion a une densité variable verticalement. C’est un attracteur : un objet géométrique complexe (souvent fractal) qui attire les trajectoires des points. Les séquences générées convergent vers cet objet géométrique qui contrôle le comportement de la dynamique.

Quelles sont les caractéristiques de cette dynamique ?

Dynamique Chaotique

Sensibilité aux conditions initiales

La première caractéristique d’une dynamique chaotique et qu’elle amplifie les erreurs de façon exponentielle. Autrement dit, si je veux calculer avec une bonne approximation la trajectoire d’un point, je dois éviter de commettre des erreurs trop importantes sur la valeur de départ. Imaginons que l’on s’impose une précision minimum de un millième pour la trajectoire et que l’on commence avec une valeur précise à un dix-millionième.

Si on passe la précision initiale à un dix-millième de milliardième, combien de point supplémentaires de la trajectoire pourra-t-on calculer avec la précision requise ? Réponse : simplement de l’ordre de 2.5 fois plus. En augmentant la précision initiale de un million (ainsi que de tous les calculs intermédiaires qui suivent) on ne peut prédire que 2.5 fois plus de point avec la même précision de un millième.

Ainsi, un système chaotique est un système qui va demander une augmentation exponentielle de la quantité d’information et de puissance de calcul pour n’obtenir finalement qu’une faible augmentation de la précision du résultat final.

L’erreur initiale va être amplifié jusqu’à diffuser dans tout l’attracteur.

Mélange

Une fois que l’erreur a diffusé dans tout l’attracteur elle va subir des transformations complexes que l’on caractérise par la propriété mathématique de mélange. De façon imagée on pourrait dire qu’une fois que deux point sont suffisamment éloignés l’un de l’autre il devient impossible de savoir quelles seront leurs positions relatives futures. Un coup ils seront éloignés, le coup d’après très proches etc...

Voici une illustration. En noir, la trajectoire d’un point. En rouge, l’erreur initiale. En jaune un point proche initialement qui représente la trajectoire calculée à partir d’un point de départ légèrement faux.

On voit que l’erreur diffuse très rapidement. On voit aussi que la position relative des points jaunes et noirs semble totalement aléatoire.

Un système chaotique et un système mélangeant, où la dynamique est sensible aux conditions initiale (il y a un troisième critère technique dont il est inutile que je parle ici).

Continuons notre exploration.

Ordre dans le Chaos

Au milieu du Chaos, on voit parfois apparaître de nouveaux cycles périodiques mais cette fois-ci de période 3 :

On retrouve même le dessin entier en lui-même (regardez les abscisses qui sont différentes):

Intermittence

Pour a=3.8, nous sommes dans la zone de Chaos mais proche d’un cycle d’ordre 3:

Ce cycle n’existe plus mais fait encore sentir sa présence : on a une trajectoire pseudo périodique d’ordre 3 interrompue par des bouffées chaotiques qui se produisent de façon imprévisible:

C’est le phénomène d’intermittence.

Attracteur de Lorentz

Le météorologue Lorentz a mis en évidence, dans un modèle simple de système météorologique, un attracteur qui illustre bien le phénomène du chaos.

La physique et le Chaos

Le Chaos ne nécessite pas forcément d’équation complexe comme nous venons de le voir mais il est plus facile à trouver, en général, dans les système qui ont des non-linéarités et un grand nombre de degrés de liberté.

En physique, où l’on a la chance de pouvoir contrôler son environnement expérimental, on se place souvent dans les zones non chaotiques (peu de degrés de liberté ou systèmes linéaires). Mais, dans le cas de la thermodynamique l’aspect chaotique est au contraire un avantage. Cela est dû au grand, très très grand, nombre de degrés de liberté qui permet l’apparition de phénomènes de nature statistique.

Le Chaos n’est pas le désordre mais une forme d’organisation beaucoup plus complexe (et qui défie l’imagination). L’ordre dans le Chaos existe mais est caché (attracteur) et inexploitable pour la prédiction.

Constructivisme

Le constructivisme proclame que les choix publics doivent être guidés par la volonté de construire un certain type de société, et non par le bien-être immédiat des individus.

Le constructivisme cherche donc à façonner la société selon un plan qui peut aller de la simple loi à une politique économique et sociale complexe.

Une société est un système qui a de nombreux degrés de liberté (les individus) mais pas assez pour que les méthodes de la physique statistique soient utiles et c’est d’ailleurs pourquoi l’éconophysique n’a pas encore de donné de résultats utilisables en pratique.

Les interactions entre individus sont complexes. Ainsi, une société d’individus est un système chaotique.

Vouloir agir sur cette société suppose que l’on peut prédire le résultat de ces actions ce qui n’est pas possible sauf à sortir du domaine chaotique. Pour cela, il faut diminuer les degrés de liberté pour qu’à la fin il ne reste que des groupes d’individus agissant de manière collective en suivant les directives du pouvoir en place. Pour sortir du Chaos il faut aussi simplifier les interactions. Supprimer l’infinie palette d’interactions qui existent entre individus pour les remplacer par des interactions hiérarchiques, verticales avec peut-être un reste d’interactions horizontales qui se feront plutôt sous forme de conflits.

Ainsi, pour arriver à ses fins, le constructiviste devra construire une société totalitaire où l’individu a disparu ! Le constructivisme n’est que l’expression d’un orgueil qui consiste à croire que la science nous donne une certaine forme d’omnipotence. Le constructivisme est aussi l’expression d’une peur : peur de ce qui ne peut être compris car trop complexe.

Le Chaos est présent partout dans le domaine biologique. par exemple, le cœur a des battement chaotiques plutôt que parfaitement périodiques ce qui lui permet de plus facilement passer d’un régime de battement lent à un régime rapide : le chaos permet une plus grande réactivité.

Il en va de même dans les organisations qui doivent accepter un certain désordre en favorisant une plus grande autonomie permettant à la fois l’adaptation rapide à la réalité de l’organisation et l’imagination de solutions nouvelles, imprévisibles même, à l’intérieur des mécanismes traditionnels. La concentration du pouvoir au plus haut niveau de l’échelle hiérarchique entraîne une rigidité telle que l’organisation dans son ensemble risque de se retrouver dans l’incapacité de s’adapter rapidement au changement. L’excès d’ordre engendre désordre et cacophonie alors que le Chaos contient ses propres facteurs d’équilibre et d’ordre.

Le but du tout gouvernement, volontairement ou non, est donc la servitude car ce n’est que dans la servitude que l’illusion constructiviste peut fonctionner.

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