Physique Quantique pour le profane

Posté par alpheccar le05 Mar 2005 à 18:21 CEST

Les cours de physique quantique commencent en général par quelques expériences fondamentales dont le but est de mettre en évidence les spécificités de la physique quantique. Puis, ils passent tout de suite au formalisme mathématique abstrait et à ses conséquences. Mais, probablement par manque de temps, ils oublient généralement d’expliquer que ce formalisme dérive d’axiomes relativement simples et qui explicitent bien mieux la signification physique de la théorie quantique. En outre, ces axiomes peuvent presque tous être formulés sans mathématiques.

Le but de ce texte est donc d’exposer ces axiomes et de les expliquer afin que les gens intéressés par la physique quantique, mais n’ayant pas la sophistication mathématique nécessaire, puissent néanmoins aller plus loin que les livres de vulgarisation

A - Déterminisme statistique

Lorsque l’on fait des mesures sur un système physique, on s’aperçoit que certaines mesures sont incompatibles entre elles. Par exemple, si vous mesurez la position x puis la vitesse v et de nouveau la position x alors il n’y a aucune raison que cette seconde mesure de x donne le même résultat que la première : le résultat obtenu lors de cette seconde mesure est aléatoire. En outre, la mesure de la vitesse est aussi aléatoire.

Mais, ce n’est pas toujours le cas. Il existe des mesures compatibles. Si A,B,...,E sont des mesures compatibles alors si je mesure A, puis B puis A j’obtiens le même résultat lors de la seconde mesure de A que lors de la première. Dit autrement, je peux faire “simultanément” les mesures A,B,...,E et obtenir les valeurs a,b,...,e. Si je recommence cette série de mesures une seconde fois j’obtiendrai les mêmes valeurs a,b,...,e.

Ayant mesuré A,B,...,E je peux peut-être trouver d’autres mesures compatibles qui vont me fournir des informations supplémentaires sur le système en plus de A,B,... et E. Mais, je ne peux pas continuer indéfiniment. Il va arriver un moment ou j’aurai obtenu toute l’information que je peux obtenir sur le système de façon reproductible (non aléatoire). On dit alors qu’on a un ensemble maximal de mesures, un test maximal, et que le système a été préparé dans un état pur (l’état du système après avoir fait toutes les mesures de l’ensemble maximal).

Le système étant dans un état pur, si l’on refait le même test maximal on obtiendra les mêmes résultats : donc un résultat déterministe.

Par contre, toute mesure hors de cet ensemble donnera un résultat aléatoire. Tout ce qu’on peut prédire c’est la probabilité de ce résultat : on a un déterminisme statistique puisque les probabilités sont déterministes.

Pour un système donné il peut exister plusieurs test maximaux différents.

B - Equivalence des tests maximaux

Si toute préparation du système donne des résultats reproductibles (déterministes) pour un test maximal si et seulement si elle donne aussi des résultats reproductibles pour un autre test maximal alors ces deux tests sont équivalents.

Toute préparation du système qui donne des résultats aléatoires pour le prmier test maximal donnera des résultats aléatoires et avec les mêmes probabilités pour l’autre test en ce qui concerne les mesures communes aux deux tests.

C - Mélanges aléatoires

Souvent, on ne maîtrise pas totalement la procédure de préparation. On sait juste qu’elle va générer des états purs mais on ne sait pas lesquels. On sait juste avec quelles probabilités ils seront générés. On a un mélange statistique d’états purs. Le système qui est généré par la procédure de préparation est dans un état pur et un seul mais notre description du système ne nous dit pas dans quel état pur. Donc, au niveau de notre description on a un mélange d’états purs.

Un système quantique avec N états peut être préparé de telle façon que le résultat de n’importe quel test maximal doit être obtenu avec une probabilité 1/N. Cet état est invariant dynamiquement et est unique ! C’est un résultat non trivial de pouvoir préparer un système physique dans cet état. Cet état correspond à l’absence total d’information sur le système. C’est un état d’ignorance absolu.

D - Loi de réciprocité

Si a et b sont deux états purs. La probabilité d’obtenir b après un test maximal effectué sur un système préparé dans l’état pur a est la même que la probabilité d’obtenir a après un test maximal effectué sur un système préparé dans l’état pur b.

Cette loi n’a pas d’équivalent classique.

(N’oublions pas que d’après l’axiome A, après un test maximal le système est dans un état pur).

E - Principe d’interférence

Si un système physique peut parcourir plusieurs chemins différents entre sa préparation et le test alors la probabilité des différents résultats du test n’est en général pas obtenue en sommant la probabilité des différents chemins aboutissant au même résultat.

Autrement dit, le passage d’un système quantique par un chemin indéterminé n’est pas un événement quantique et la loi de sommation des probabilités ne s’applique pas.

F - Loi de composition des amplitudes de transition

On postule l’existence d’amplitude complexes de transition C_{ab} reliées à l’obtention de b lors d’un test sur un système préparé dans l’état où l’on mesure a. Ces amplitudes encodent la plausibilité que l’on obtienne b connaissant l’état de départ.

On postule que la probabilité est reliée à l’amplitude de transition par :

mais cette équation ne nous donne que le module de l’amplitude de transitition et pas sa phase.

L’axiome de composition nous dit que les phases des amplitudes complexes peuvent être choisies de telle façon que si plusieurs chemins permettent d’aller de l’état initial à l’état final et qu’aucun processus dynamique ne permet de distinguer quel chemin a été pris alors l’amplitude totale est la somme des amplitudes pour les différents chemins.

Ce sont ces amplitudes qui sont fondamentales et pas les probabilités. L’existence de ces amplitudes a des conséquence expérimentales puisque via l’axiome de composition et l’axiome de réciprocité elles imposent la structure des probabilités quantiques que l’on peut calculer et vérifier expérimentalement.

Donc, postuler l’existence de ces amplitudes et la relation avec les probabilité n’est pas anodin. Cela a un contenu physique fort et toutes les conséquences (nombreuses) de ces postulats sont vérifiées expérimentalement. Notez qu’il s’agit ici de vérifier la structure logique de la théorie quantique et pas une quelconque évolution dynamique.

G - Principe de superposition

Jusqu’ici nous avons considéré des états purs notés par des lettres e_{a},e_{b},e_{c}. Puis, nous avons introduit des amplitudes de transition complexes.

Chaque C_{ba} encode la plausibilité de passer d’un état où une mesure donne a vers un état où une mesure donne b.

Il se trouve que l’on peut donner une structure d’espace vectoriel à ces états (qui ne sont encore que des lettres). Si l’on a deux états e_{a}> et e_{b} on peut créer l’objet mathématique 3e_{a}-e_{b} par exemple. Cet objet a-t-il une signification physique ou est-ce un simple jeu de mathématicien ?

Cela a une signification physique. Par exemple, l’expression suivante :

signifie que le test maximal appliqué à l’état e_{b} peut donner e_{a} ou e_{c} et que la plausibilité que cela se produise est encodée par les amplitudes C_{xy}.

On peut donc voir cette expression mathématique comme un simple truc permettant en une équation de résumer de nombreuses choses : que de b on peut atteindre a ou c, que les plausibilités sont différentes etc...

La nouveauté est que l’on est tenté de vouloir utiliser tout le potentiel de cette construction mathématique et l’expérience montre que l’on a en effet le droit de le faire en raison du principe de superposition : tout vecteur complexe (sauf le nul) représente un état pur qui peut être réalisé.

Autrement dit, non seulement on peut écrire des formules comme celle ci-dessus mais en outre toute formule de ce genre représente en effet un état réalisable. L’espace des états est un espace vectoriel et les amplitudes de transitions encodent des opérateurs qui agissent sur cet espace.

Il y a là un principe physique totalement nouveau. C’est une chose d’encoder sous forme de somme purement formelle les informations que l’on a sur les transitions possible. Cela en est une autre de découvrir que toute somme de cette nature représente un état physiquement réalisable. Autrement dit, si un système quantique est dans l’état froid ou chaud vous pouvez le mettre dans un état chaud+froid mais ce n’est pas un état tiède. C’est quelque chose de totalement nouveau : un état qui peut se comporter parfois comme étant chaud (et il se produit alors une transition vers l’état chaud) et parfois comme froid tout en étant ni l’un, ni l’autre. Cela a des implications sur les amplitudes de transitions que l’on va calculer et qui décrivent comment cet état se comporte en pratique.

Le principe de superposition nous donne aussi le résultat suivant : toute base orthogonale de cet espace représente un test maximal. Donc, un test maximal peut aussi être représenté avec le même formalisme.

H - Loi des moyennes quantiques

La probabilité qu’un système préparé dans l’état u passe un test pour l’état v est |<u,v>|^{2}

Autrement dit, la structure mathématique introduite précedemment nous offre un élément supplémentaire : un produit scalaire noté <> qui est lié à la moyenne.

I - Déterminisme quantique

Dans un environnement parfaitement reproductible, un état pur évolue en un état pur.

J - Evolution unitaire

Cet axiome précise le précédent.

L’évolution, au cours du temps, d’un état pur est unitaire. Cela signifie que les probabilités sont conservées (la probabilité que n’importe quoi arrive est toujours 1) mais aussi que l’équation d’évolution doit être d’une forme particulière.

Conclusion

Il est toujours difficile de vraiment exposer la physique quantique sans recourir aux mathématiques. Ces mathématiques sont un guide qui permet d’éviter d’aller trop loin dans l’interprétation et de finir par faire de la pseudo science comme c’est trop souvent ce qui arrive quand les gens essaient de comprendre la physique quantique à partir d’un livre de vulgarisation : ils ont tendance à aller beaucoup plus loin que le livre et à sortir du domaine scientifique pour tomber dans celui de la science-fiction ou du paranormal.

J’ai essayé (mais je pense avoir un peu echoué) d’exposer la physique quantique en recourant le moins possible à des notions mathématiques et en me limitant à des formulations des axiomes qui sont assez concrètes puisque utilisant la notion de test maximal qui est clairement définie. Je ne suis pas certain, maintenant que j’ai écrit ce texte, que cela va beaucoup éclairer le lecteur qui ne connaissait pas déjà le sujet.

Il faudra que je tente une autre approche...

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