Théorie des nœuds

Posté par alpheccar le22 Fév 2005 à 14:39 CEST

Le symbole de mon blog étant un nœud, il fallait bien que j’écrive un texte sur la théorie des nœuds.

Introduction

En parcourant le grand livre des nœuds, on est stupéfait par la quantité de nœuds qui ont été inventés. Nombreux sont purement décoratifs mais la plupart ont une utilité comme les nœuds du chirurgien, du marin ...

Mais, je ne vais pas parler des nœuds physiques. Peu importe le type de corde utilisée, son diamètre ou les forces de frottements qui assurent la cohésion du nœud. Je vais m’intéresser au nœud mathématique idéal utilisant un fil infiniment fin et infiniment extensible. Je vais m’intéresser à l’essence des nœuds et pas à la façon dont ils sont faits.

Qu’est-ce qu’un nœud ?

En pratique un nœud ressemble plutôt à ceci:

mais les mathématiciens ont pris l’habitude de connecter les deux extrémités de la corde pour obtenir ceci:

donc un nœud est toujours une boucle qui se referme sur elle-même.

Classification et nœuds premiers

Ces deux nœuds sont deux représentations du même type de nœud : le nœud de trefle.

Plus difficile, Perko a montré que ces deux nœuds de la paire dite de Perko, sont en fait le même nœud:

Il n’est donc pas évident de savoir lorsque deux objets physiques représentent fondamentalement le même nœud. Mais, c’est cela qui intéresse les mathématiciens. Plus précisemment, ils aimeraient classifier les nœuds, c’est-à-dire déterminer tous les types de nœuds qui sont fondamentalement différents et pas simplement en apparence.

Une première étape vers ce but est la notion de nœud premier. Un nœud peut être compliqué parce qu’il est la succession de nœuds simples:

Ces nœuds simples peuvent être séparés en coupant la corde.

Un nœud premier est un nœud qui ne peut être séparé en nœuds plus simples : couper la corde dénoue le nœud. Classifier les nœuds c’est chercher à déterminer les briques élémentaires : tous les nœuds premiers.

Pour cela, il faut trouver des outils qui permettent de vérifier quand deux nœuds premiers sont bien différents. On a vu qu’en se servant de l’objet tridimensionnel ce n’est pas simple.

Invariants

On utilise pour cela des invariants topologiques (j’ai rapidement expliqué ce qu’est un invariant topologique dans mon texte sur la géométrie non commutative).

Un invariant topologique est un objet algébrique qui dépend uniquement de l’essence du nœud mais pas de sa forme tridimensionnelle. C’est un objet algébrique qui ne change pas lorsque le nœud est déformé tout en restant le meme type de nœud. Un invariant topologique est donc quelque chose d’assez subtil : il ne doit pas être sensible aux détails de la forme du nœud tout en étant sensible à ce qui le différencie des autres nœuds. Calculer l’invariant d’un nœud est beaucoup plus facile que de déformer (à la main ou mentalement) sa structure tridimensionnelle afin de vérifier qu’il est différent d’un autre nœud.

Pour montrer qu’un objet algébrique est un invariant, il faut montrer qu’il ne change pas quand on déforme le nœud. Les déformations de nœuds sont appelées isotopies. Il semble qu’il y a tellement de façons de déformer un nœud qu’on ne pourra jamais vérifier que l’ objet algébrique ne change pas pour toutes les déformations. Mais, en fait, toutes les isotopies peuvent se ramener à 3 types de déformations fondamentales : les mouvements de Reidemeister.

Mouvement de Reidemeister de type 1

Mouvement de Reidemeister de type 2

Mouvement de Reidemeister de type 3

Une fois que l’on a une règle permettant de calculer un objet algébrique pour un nœud, il suffit de vérifier que le résultat est inchangé quand on utilise n’importe quel mouvement de Reidemeister pour vérifier que l’on a un invariant.

Il existe de très nombreux invariants mais aucun n’est parfait dans le sens ou aucun ne peut montrer que deux objets représentent le même nœud (deux nœuds différents peuvent avoir le même invariant). Par contre, deux nœuds qui ont des invariants différents sont forcéments différents. Donc, en utilisant plusieurs invariants on peut réussir à montrer que deux nœuds sont effectivements différents.

On utilise souvent une relation récursive pour expliquer comment calculer un invariant de nœud (skein relation).

Par exemple, pour le polynôme de Jones on a:

que je note:

Ce qui signifie que si l’on change l’intersection et qu’on passe d’un type de nœud à un autre nœud différent alors l’invariant doit être modifié de la façon indiquée. Le but de ces transformations est d’atteindre le non-nœud : la boucle non nouée.

Notez que cet invariant a besoin d’une notion d’orientation sur le nœud puisque les croisements utilisent des flèches. C’est un invariant de nœud orienté.

Il existe de très nombreux invariants mais en voici un important dernier:

Polynôme de HOMFLY

C’est aussi un invariant de nœud orienté et c’est un polynôme de deux variables.

Avec ces invariants, on peut aboutir à un début de classification pour les nœuds simples (0 croisements, 1 croisement, 2 croisements etc...).

Début de classification

On obtient par exemple les quelques nœuds premiers suivants:

Parmis ces nœuds premiers, certains ont des propriétés intéressantes. Par exemple, le nœud de trefle est différent de son image dans un miroir:

alors que le noeud de 8 est identique à son image dans un miroir:

Ce qui signifie que les deux nœuds de 8 sont de même type : l’un peut devenir l’autre par déformation. Cela ne signifie pas que la structure tridimensionnelle obtenue en prenant l’image dans le miroir est strictement identique à l’original.

Tresses et chaînes

Au delà des nœuds, les mathématiciens s’intéressent aussi aux tresses et aux chaînes

Exemple de tresse

Une tresse est un ensemble de brins.

Exemple de chaîne

Une chaîne est une tresse que l’on a refermé. Un ensemble de brins liés les uns aux autres. Un nœud est une chaîne avec un seul brin.

Tout nœud ou toute chaîne peut être obtenue à partir d’une tresse.

Il existe une structure algébrique derrière les tresses : le groupe des tresses de Artin.

Chaque élément du groupe des tresses agit sur deux fils en permutant leurs extrémités dans un sens ou dans l’autre.

Une tresse peut alors être décrite par la succession des éléments du groupe à appliquer.

Ce groupe encode dans sa structure algébrique les mouvements de Reidemeister.

Applications

La théorie des nœuds n’est pas qu’un simple amusement de mathématiciens. C’est certe joli et plein de problèmes non résolus mais c’est aussi utile !

Tout d’abord en biologie où les brins d’ARN et ADN ainsi que les filaments d’acides aminés s’enroulent selon des formes tridimensionnelles complexes. Or, souvent, au travers des microscopes, on ne voit qu’une projection bidimensionnelle. Les invariants permettent de remonter à des informations tridimensionnelles à partir des vues 2D que l’on a.

En physique la théorie des nœuds est très utile en raison des nombreuses connexions qu’elle a avec la théorie de la physique des particules. Prenons l’exemple simple de l’électromagnétisme avec deux fils électriques comme schématisé dans la figure ci-dessous:

Si un courant circule dans la boucle marron, il va créer un champ magnétique. Si on fait bouger un monopôle magnétique selon la courbe bleue alors le travail que cela nécessite ne dépend pas de la forme précise des courbes marrons et bleues. C’est proportionnel à un invariant topologique : le nombre d’entrelacement.

Les théories de la physique des particules sont des théories de jauge : une symétrie bien particulière. Elles ont un contenu géométrique et elles permettent de construire de nombreux invariants tous reliés au groupe de jauge et à ses représentations.

La théorie des nœuds est aussi utilisée pour la théorie des supercordes.

Pour finir, la théorie des nœuds est connectées à de nombreux domaines très intéressants des mathématiques comme les algèbres de Hopf.

Il y aurait encore beaucoup à écrire mais je n’ai plus le courage de continuer pour cette fois...

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