Finance et Holonomie
Posté par alpheccar le11 Fév 2005 à 22:29 CEST
Comment géométriser les processus d'arbitrage ? Je commencerai par expliquer ce qu'est le concept d'holonomie et ensuite comment s'en servir pour voir les processus d'arbitrage d'une façon différente
Holonomie
Pour ce qui suit, je vous conseille d'essayer de visualiser les choses.
Imaginez-vous au pôle nord avec une flèche dans les mains. Vous tenez votre flèche bien droite devant vous et parallèle à un méridien. Vous décidez de marcher tout droit devant vous en suivant le méridien et sans jamais faire tourner votre flèche qui reste bien parallèle au méridien. Localement, si on ne vous avait pas dit que la terre n'est pas plate, vous auriez l'impression de marcher tout droit, sans faire tourner la flèche. C'est ce que l'on nomme un transport parallèle.
Arrivé à l'équateur, votre flèche est maintenant orthogonale à la ligne d'équateur. Vous décidez maintenant de marcher le long de l'équateur en conservant cet angle de 90 degrés entre la flèche et l'équateur. Là encore, vous marchez tout droit, le long de l'équateur sans jamais faire tourner votre flèche.
Arrivé à un nouveau méridien, votre flèche est toujours orthogonale à l'équateur et parallèle à ce nouveau méridien. Vous décidez de marcher à reculons jusqu'au pôle nord en gardant votre flèche bien parallèle à ce nouveau méridien.
Une fois arrivé au pôle nord, surprise ! Votre flèche n'est plus du tout dans la même direction qu'à votre départ. Pourtant, vous n'avez jamais tourné cette flèche, vous avez tout fait pour conserver son orientation. C'est le phénomène d'holonomie dû au fait que votre trajectoire circonscrit une certaine surface sur le globe terrestre est que la terre est courbe (c'est une sphère). Ainsi, la rotation de votre flèche est une manifestation de la courbure de la terre. C'est un phénomène global alors que localement votre flèche ne tourne pas.
Où est la finance là dedans ?
Arbitrage
Vous avez des euros et vous les vendez contre des dollars en un point A. Puis, en un point B vous rachetez des euros contre ces dollars. Si vous faites un gain on dit que vous avez fait un arbitrage. A force, ces arbitrages vont avoir tendance à gommer ces différences de prix entre les marchés et qui permettent un gain par un simple déplacement (de A vers B).
Maintenant, imaginez un portefeuille d'actions comme une flèche. C'est un vecteur et chaque action représente une composante du vecteur. Si vous vendez ce portefeuille sur un marché A, puis rachetez ce portefeuille sur un marché B alors il est possible que vous en obteniez un gain. Si, vous déplacez votre portefeuille de marchés en marchés et qu'en revenant à votre point de départ vous avez un portefeuille de valeur différente alors vous avez un processus qui ressemble fortement à un transport parallèle et à de l'holonomie. Ainsi, on peut interpréter le gain effectué par ces arbitrages comme la présence d'une courbure dans l'espace des marchés. Et, les échanges vont avoir tendance à faire disparaître cette courbure.
Les matheux pourraient me critiquer en arrivant à ce point. J'ai en effet été très vague sur la manière dont on peut réellement interpréter un processus d'arbitrage comme un transport parallèle. Il y aurait beaucoup plus à dire. Il y a de nombreux articles sur le sujet si vous voulez approfondir. Il suffit de faire une recherche sur "gauge theory and finance". Mon but était juste d'une donner une vague idée, mais je l'espère claire, de la vision géometrique du concept d'arbitrage que permet la notion d'holonomie. Tout cela, sans rentrer dans les définitions précises de ce qu'est un transport parallèle ou le groupe d'holonomie.
Je ne suis pas certain que ces analogies soient d'un grand intérêt (cela n'empêche pas des gens d'y travailler) mais elles sont amusantes.
