Les Trous Noirs

Posted by alpheccar - Oct 07 2005 at 20:19 CEST

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir (ou presque) sur les trous noirs sans jamais oser le demander :-)

Avant de lire ce texte, je vous conseille fortement de relire la première partie de mon texte Relativité Restreinte, Physique Quantique et Non-localité qui parle des cônes de lumière ainsi que mon texte sur la Relativité Générale. En effet, les trous noirs sont des objets relativistes et il est donc nécessaire d’avoir quelques idées sur le sujet.

Transformation conforme

Pour comprendre ce qu’est un trou noir, il est utile d’utiliser les cartes de Penrose qui permettent de visualiser sur une feuille de papier la structure d’un espace-temps contenant un trou noir. Pour comprendre les cartes de Penrose, il faut comprendre la notion de transformation conforme.

Considérons le plan. Intuitivement, on peut parler de points à l’infini. Mais comment donner un sens à cette notion de points à l’infini. On peut recourir à la projection suivante qui associe à chaque point du plan, un point d’une sphère.

On voit alors que les points à l’infini sont représentés par un seul point : le pôle nord de la sphère. Avec cette représentation, l’infini est quelque part. C’est un objet géométrique et cela a du sens de parler de voisinage de l’infini.

La transformation utilisée pour géométriser l’infini a une propriété très intéressante : elle est conforme. C’est-à-dire qu’elle conserve les angles. Or, les angles en relativité c’est ce qui encode la structure en cônes de lumière donc toute la structure causale de l’espace-temps.

Ainsi, en utilisant une transformation conforme, on va pouvoir géométriser l’infini spatio-temporel et représenter sur une feuille de papier la structure causale d’un trou noir : c’est la carte de Penrose. Cette représentation ne sera qu’approximative dans les cas où l’espace de départ n’a pas une suffisante symétrie de révolution. Dans le cas contraire, chaque point du diagramme représentera une sphère spatiale donc de dimension deux (longitude + latitude) à ajouter à une dimension spatiale du diagramme et une dimension temporelle.

Carte de Penrose du Trou Noir de Schwarzschild

Pour que tout cela soit plus clair, nous allons étudier dans le détail la carte de Penrose d’un trou noir de Schwarzschild. Avant de vous amuser avec le diagramme interactif ci-dessous (flash player 8 nécessaire) je vous conseille fortement de d’abord lire les explications qui suivent.

Sur le diagramme, on voit verticalement la dimension temps et horizontalement la dimension espace. Les deux autres dimensions spatiales manquantes sont obtenues par symétrie de révolution.

A un instant donné pour un observateur, il y a des points de l’espace-temps qui sont très éloignés, à l’infini : c’est l’infini spatial noté i_0. Mais, comme la mesure des distances spatio-temporelles distingue les intervalles de genre espace, de genre lumière et de genre temps, il existe trois types d’infini. A l’infini spatial, il faut ajouter l’infini temporel i_+ (dans le futur) et i_- (dans le passé) : les points les plus éloignés accessibles par des particules de matière pour des temps infinis. Le dernier type d’infini représente les points accessibles uniquement par des rayons de lumière et noté S_+ ou S_-.

La trajectoire d’une particule de matière soumise à aucune force et suivant la courbure de l’espace-temps commence forcément en i_- pour finir en i_+. Pour la lumière on part de S_- pour finir à S_+.

Sur le diagramme, les rayons lumineux ont une pente de 45 degrés. On remarque une zone appelée horizon des événements (en pointillées sur la figure) qui n’est pas quelque chose de tangible mais une propriété de cet espace temps. Si cet horizon des événements est franchi alors il n’y a plus aucun moyen pour éviter la singularité car il faudrait alors voyager plus vite que la lumière (la trajectoire devrait avoir une pente de plus de 45 degrés par rapport à la verticale). C’est un trou noir. Rien de ce qui est au-delà de l’horizon des événements ne peut communiquer avec le reste de l’espace-temps. On a deux parties de l’espace-temps qui sont déconnectées causalement.

La singularité est une zone où nos équations n’ont plus aucune validité. Heureusement, il semble (conjecture de la censure cosmique) que ces conditions soient toujours cachées derrière un horizon des événements.

Un trou noir c’est une singularité cachée derrière un horizon des événements.

Sur le schéma, il y a deux singularités représentées chacune par des traits parallèles.

Considérons la singularité située dans le futur. Une fois l’horizon des événements franchi, les trajectoires définies par une distance constante au trou noir deviennent de genre espace donc sont impossibles puisque la trajectoire d’un observateur est forcément de genre temps. Donc, la distance va diminuer. Autrement dit, l’écoulement du temps c’est se rapprocher de la singularité finale. Il n’y a plus aucun moyen d’y échapper de même qu’il n’y a aucun moyen de contrôler l’écoulement du temps.

Pour passer d’une zone à l’autre du trou noir et le traverser, il faudrait passer là où il n’y a pas d’horizon des événements (centre du diagramme) et nécessairement avec un angle supérieur à 45 de la verticale. Cela n’est pas possible (vous pouvez lancer la petite animation : traverser le trou noir). Il n’est donc pas possible de traverser ce genre de trou noir sans se retrouver dans la singularité finale. Le “tunnel” permettant de passer et de traverser a une durée de vie bien trop courte.

Pour avoir une idée visuelle de ce genre de trou noir, on peut essayer de représenter l’espace-temps à des temps particuliers : passé lointain, présent, futur. Mais, se pose un problème : comment définir un temps global ? Cela n’a en général pas de sens en relativité générale. On décide de sonder cet espace-temps par des coupes tridimensionnelles arbitraires pour se faire une idée (vous pouvez cliquer sur les boutons passé, présent et futur maintenant). Ces coupes définissent un “pseudo-temps” global.

Attention à ne pas mal interpréter le graphique vert. Le tunnel qui apparaît au temps présent dans ce dessin ne peut être utilisé pour traverser le trou noir car il n’appartient pas au trou noir. Dans ce dessin, le trou noir c’est la surface verte et rien que cela. Tout ce qui est en dehors de cette surface ne fait pas partie de l’espace-temps étudié et ne sert qu’à représenter la courbure cet espace.

Ce graphique vert est orienté verticalement mais aurait dû l’être horizontalement pour mieux correspondre aux coupes sur la carte de Penrose. Notez enfin que ce graphique n’est pas le résultat d’un calcul (je n’ai pas eu le temps) mais un dessin qualitatif. Ce graphique permet surtout d’illustrer la dépendance entre le rayon d’un cercle et le distance au centre de ce cercle. Cette correspondance ne suit absolument pas les règles habituelles car la géométrie n’est pas euclidienne. Elle ne l’est qu’à l’infini. On dit que l’espace est asymptotiquement plat.

Trou Noir de Kerr

Le trou noir de Schwarzschild n’est pas réaliste. Il correspond à un trou noir éternel, dans un espace-temps vide de matière et un trou noir qui n’est pas animé de rotation. Or, un trou noir provient de l’effondrement gravitationnel des étoiles. Un patineur qui rapproche ses bras du corps voit son mouvement de rotation s’accélérer et une étoile qui s’effondre sur elle-même se met à tourner de plus en plus vite. Ainsi, un trou noir représentant la réalité doit être un trou noir en rotation.

Ce trou noir se forme à partir de matière qui a des attributs : masse, charge, moment cinétique etc... Il doit en subsister quelque chose. On démontre que le trou noir final est en rotation et est caractérisé uniquement par sa masse, charge et moment cinétique. Tous les autres attributs de la matière ayant servi à le créer (type de particules etc...) disparaît. On dit que les trous noirs n’ont pas de cheveux.

Le trou noir de Kerr est le modèle de ce type de trou noir chargé et en rotation. La structure spatio-temporelle est bien plus complexe. Tout d’abord, si l’on visualise une coupe spatiale on voit que la singularité a une forme d’anneau.

Elle est entourée par un horizon des événements, dont la limite est notée r₊, et aussi par quelque chose de nouveau : l’ergosphère. Dans l’ergosphère, une trajectoire stationnaire par rapport aux étoiles lointaines serait de genre espace donc impossible. Ainsi, tout l’espace-temps situé dans l’ergosphère est entraîné par le trou noir. Il est impossible de ne pas être en mouvement par rapport aux étoiles lointaines dans cette zone. On peut s’en échapper car l’horizon des événements n’a pas encore été franchi. Cette zone se nomme ergosphère car il est possible de s’en servir pour extraire de l’énergie au trou noir.

La structure causale est représentée ci-dessous.

On voit que la singularité n’est plus temporelle mais spatiale. Il est possible de passer au-travers de ce trou noir. On se retrouve alors dans une sorte d’espace-temps “à l’envers” où l’on est expulsé du trou noir.

Le schéma 3D un peu plus haut ne visualise en effet pas la complexité de la topologie de cet espace temps. Lorsqu’on traverse le trou noir on se retrouve dans un autre espace qui n’est pas visualisé dans le dessin 3D précédent. Dans le feuillet “positif” on a un trou noir et dans le feuillet “négatif” une fontaine blanche.

Cette trajectoire peut se voir sur la dessin. On commence dans la région I. Puis, on traverse l’horizon des événements r_+ pour se retrouver dans la région III. Il n’y a alors plus d’autre possibilité que de traverser r_- pour se retrouver dans la région IV. On évite ensuite la singularité et on ressort dans la région III’ puis on est expulsé dans la région I’ : un nouvel univers ... ou une autre partie du même ?

La carte de Penrose montre que l’on peut aussi aller dans la région V où la singularité est nue et non cachée par un horizon des événements. On peut aussi montrer qu’au voisinage de l’anneau de singularité il existe des trajectoire de genre temps fermées : des boucles temporelles et donc la possibilité de voyager dans le temps !

Tout cela est bien bizarre et cela signifie que la structure interne du trou noir de Kerr a peu de chance de représenter la solution physique réelle surtout si l’on prend en compte la façon dont se forme un trou noir. Par contre, la structure externe avec ergosphère est la structure d’un trou noir physique : en rotation et chargé.

La matière en tombant dans le trou noir perd tout ses attributs autres que la masse, moment cinétique et charge ce qui est problématique. Pour mieux comprendre ce qui se passe, il n’est nécessaire d’introduire la théorie quantique dans l’histoire car c’est la meilleure théorie de la matière dont on dispose.

Thermodynamique des Trous Noirs

La matière est décrite par la théorie quantique des champs dont un des enseignements est que le vide n’est pas le néant : il y a des fluctuations quantiques du vide qui créent et annihilent constamment des particules virtuelles.

Si une paire particule-antiparticule virtuelle est créée de telle sorte que l’antiparticule se retrouve de l’autre coté de l’horizon et que la particule s’échappe à l’infini alors tout va se passer comme si le trou noir avait émis une particule tout en perdant de l’énergie. Le trou noir rayonne et perd de l’énergie. Il n’est pas totalement noir : c’est le rayonnement de Hawking. Le trou noir s’évapore. Ce rayonnement ne permet pas de retrouver l’information perdue dans le trou noir comme le type de particule etc... On a donc un phénomène qui semble violer l’unitarité quantique (la conservation des probabilité). Un état quantique pur tombe dans le trou noir (une particule) et il en ressort un état impur (rayonnement). Ou, plus exactement, les corrélations quantiques qui existaient entre la matière restée hors de l’horizon des événements et celle qui l’a traversé ne sont pas restaurées par le rayonnement qui ressort du trou noir.

Ce rayonnement de Hawking fait du trou noir un objet thermodynamique. On peut donc calculer l’entropie du trou noir et comment elle évolue lorsque de la matière tombe dedans.

On découvre alors un fait frappant : l’entropie du trou noir c’est sa surface A et sa température la gravité de surface k! La thermodynamique fonctionne parfaitement en utilisant les correspondances suivantes:

Loi zéro

Thermodynamique

 T constant pour un corps en équilibre thermique

Trou Noir

 k constant sur l’horizon pour un trou noir stationnaire

Loi un

Thermodynamique

Trou Noir

Loi deux

Thermodynamique

 L’entropie ne décroît jamais au cours d’un processus

Trou Noir

 La surface de l’horizon ne décroît jamais au cours d’un processus classique

Loi trois

Thermodynamique

 Impossible d’atteindre T=0 par aucun processus

Trou Noir

 Impossible d’atteindre k=0 par aucun processus

Cette table est plus qu’une analogie entre les lois de la thermodynamique et les lois de la mécanique classique des trous noirs car le rayonnement de Hawking permet d’identifier k avec une température. En effet, un trou noir rayonne toutes les sortes de particules avec un spectre de corps noir à la température T = k/2pi.

La première ligne correspond au principe zéro de la thermodynamique : l’existence d’un équilibre thermodynamique.

La deuxième ligne est le premier principe : la conservation de l’énergie.

signifie que la variation d’énergie du corps provient des échanges de chaleur (calculé via l’entropie S et la température T) et des travaux effectués par les diverses forces agissant sur le système.

signifie que la variation de la masse du trou noir est liée à la variation de sa surface (surface de l’horizon des événements) et à la variation de son moment cinétique. La surface A ressemble donc à une entropie S d’autant plus que k est identifiable avec une température d’après les résultats sur le rayonnement de Hawking.

La troisième ligne correspond au fameux principe du maximum d’entropie. Dans toute transformation l’entropie ne décroît jamais. Or, pour un trou noir, l’aire ne décroît jamais dans tout processus classique ce qui renforce encore l’analogie entre les lois des trous noirs et les lois thermodynamiques. Bien entendu, le rayonnement de Hawking n’est pas un processus classique et lui provoque une décroissance de l’aire. Mais, par ailleurs, puisque c’est un rayonnement il provoque l’accroissement de l’entropie S. Il semble donc, qu’il faille généraliser le concept d’entropie en combinant S et A.

La dernière ligne est le troisième principe de la thermodynamique : le zéro absolu ne peut être atteint.

Second principe généralisé de la thermodynamique

Il semble donc qu’il faille combiner l’entropie du trou noir proportionnelle à A avec l’entropie S pour obtenir une nouvelle entropie S’ telle que le second principe soit vérifié lorsqu’on considère le rayonnement de Hawking. Mais le rayonnement de Hawking n’est pas le seul problème. En effet, il y a aussi des problèmes avec le second principe dès qu’il y a un trou noir. Si de la matière tombe dans le trou noir, elle disparaît et l’entropie qui lui était associée aussi. Le seul moyen de sauver le second principe c’est donc de prendre en compte d’une façon ou d’une autre l’accroissement de surface de l’horizon des événements.

Il y a de fortes et bonnes raisons pour penser que ce second principe généralisé se comporte correctement dans tous les cas bien qu’il n’existe aucune preuve de cela (puisqu’il n’existe encore aucune théorie quantique de la gravitation).

Ainsi, les trous noirs sont un des premiers exemples où l’on est sensibilisé à la nécessité de réconcilier la théorie quantique avec la relativité. Et, on voit déjà les fabuleux problèmes que cela pose.

Preuves d’existence des trous noirs

Voici un résumé des différentes évidences expérimentales avec des liens et des références: http://math.ucr.edu/home/baez/RelWWW/tests.html#bh

Quelques livres ... difficiles

Voici une liste des meilleurs livres sur le sujet ... pour les spécialistes seulement !

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