Relativité Générale
Posted by alpheccar - Feb 11 2005 at 21:58 CEST
La meilleure théorie de la gravitation que l'on a est la relativité générale d'Einstein. Dans ce texte, je vais essayer d'expliquer, pour les profanes, ce que cette théorie nous enseigne sur le fonctionnement du monde. Il est nécessaire d'avoir lu et compris le chapitre sur la relativité restreinte que j'avais écrit pour le texte intitulé : Relativité Restreinte, Physique Quantique et Non-localité.
Principe d'Equivalence
La relativité restreinte nous enseigne que rien ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumière. Or, dans la théorie de la gravitation traditionnelle de Newton, la gravité se propage instantanément. Il y a donc un problème et il faut chercher comment réconcilier la théorie de la gravitation avec la relativité restreinte. C'est ce que fait la théorie de la relativité générale. Une des idées clefs de cette théorie est le principe d'équivalence.
On sait qu' un corps a une masse inertielle m_I. Plus cette masse m_I est élevée et plus il est difficile de modifier le mouvement du corps (le mettre en mouvement ou l'arrêter par exemple).
Par ailleurs, un corps peut avoir une charge électrique q. Plus cette charge est élevée et plus la force ressentie par le corps, lorsqu'il est placé dans un champ électrique, va être grande.
Ainsi, l'accélération subie par le corps va être proportionnelle au rapport q/m_I.
Ce rapport varie fortement d'un corps à l'autre. Certains corps sont fortement chargés et de petite masse inertielle et d'autres sont peu chargés mais de forte masse.
Pour la gravitation, il y a aussi un concept de charge qui permet de déterminer la force de gravitation subie par un corps : c'est la masse grave m_G. Ainsi, l'accélération gravitationnelle d'un corps est proportionnelle à m_G/m_I.
Mais, contrairement à ce qui se passe avec les autres forces, ce rapport est constant. Il est totalement indépendant du corps ! C'est une propriété très particulière de la force de gravitation. Par un choix d'unités adéquates on obtient m_G=m_I et on parle alors de masse m sans faire de distinction entre les deux concepts qui sont physiquement différents.
Cette constante du rapport de la masse grave et de la masse inertielle est le principe d'équivalence : ces deux concepts de masse sont équivalents. C'est grâce à cette équivalence que la micro gravité existe dans un vaisseau en orbite autour de la Terre. En effet, le champ de gravitation n'y est pas nul et pourtant les objets flottent ! C'est parce qu'ils sont tous attirés par la Terre de la même façon. Par conséquent, ils ne bougent pas les uns par rapport aux autres.
On aurait la même chose dans un ascenseur tombant en chute libre : tous les objets tombant de la même façon ils seraient immobiles les uns par rapport aux autres.
Ainsi, il semble que la gravitation soit, d'une manière à préciser, équivalente à une accélération : en effet dans un système de référence en chute libre (donc accéléré), tout se passe comme s'il n'y avait plus d'attraction gravitationnelle. Et réciproquement, lorsqu'il y a une attraction gravitationnelle, tout se passe comme si les objets étaient accélérés.
Comment préciser cette analogie et expliquer dans quelle mesure elle est correcte ?
La grande idée d'Einstein a été de déduire de ce principe d'équivalence la chose suivante : la force de gravitation n'est pas une vraie force. C'est une manifestation de la courbure de l'espace-temps. Et c'est comme cela qu'on peut comprendre le principe d'équivalence et l'analogie entre champ de gravitation et accélération.
Courbure de l'espace-temps
Quelques notions sur les espaces courbes
Lorsqu'on considère un cylindre, il y a de toute évidence une courbure. Mais, il s'agit d'une courbure extrinsèque qui dépend de la façon dont le cylindre est plongé dans l'espace ambiant à 3 dimensions.
Il y a une autre notion de courbure : la courbure intrinsèque. Pour un être bidimensionel vivant à la surface du cylindre, il n'y aurait aucune courbure. La géométrie de la surface du cylindre serait toujours plane : la somme des angles d'un triangle faisant toujours 180 degrés. Cet être vivant n'aurait pas conscience et de la courbure extrinsèque.
Lorsqu'on parle de courbure de l'espace-temps c'est la courbure intrinsèque. Inutile d'imaginer que l'espace-temps est plongé dans un espace ambiant le contenant.
Dans un espace courbe, il existe des trajectoires qui correspondent à l'idée de marcher tout droit localement. Par exemple, sur une sphère, marcher tout droit vous amènera à marcher selon un méridien ou l'équateur mais pas selon les autres parallèles. Ces lignes droites (localement) sont appelées géodésiques.
Si vous vous déplacez le long d'une géodésique en transportant une petite flèche et que vous faites votre possible pour que cette flèche ne tourne pas et soit toujours orientée de la même façon vis-à-vis de la géodésique alors vous faites un transport parallèle de la flèche.
La courbure intrinsèque se manifeste lorsque vous transportez parallèlement une flèche le long d'une trajectoire fermée. Par exemple, partez du pôle nord et marchez tout droit le long d'un méridien jusqu'à l'équateur. En marchant, veillez à ne pas faire bouger la petite flèche que vous emportez avec vous. Elle doit toujours rester alignée dans la direction du méridien et pointer vers le sud.
Arrivé à l'équateur, cette flèche fait un angle de 90 degrés avec l'équateur. Marchez le long de l'équateur en conservant cet angle : nouveau transport parallèle. Puis, arrivé à un nouveau méridien, marchez à reculons jusqu'au pôle nord en veillant à ce que votre flèche soit toujours alignée suivant le méridien et pointant vers le sud.
Arrivé au pôle nord vous constaterez un phénomène étonnant : bien que vous ayez toujours marché tout droit sans faire tourner votre flèche et bien elle a néanmoins tourné ! Une fois arrivé au pôle nord, elle ne pointe plus dans la direction qu'elle avait au début en partant du pôle.
C'est une manifestation de la courbure intrinsèque de la sphère. Ce phénomène ne se produirait pas en se déplaçant sur un cylindre bien qu'il puisse y avoir une courbure extrinsèque.
La rotation qu'a subie la flèche entre le départ et le retour au pôle nord est proportionnelle à la surface de la sphère encadrée par la trajectoire parcourue ainsi qu'à la courbure contenue dans ce périmètre.
Signification de la courbure de l'espace-temps
Localement, l'espace-temps est celui de la relativité restreinte. Il existe donc des repères inertiels avec leurs axes d'espace et leur axe de temps (ces axes jouent le rôle de la petite flèche de la section précédente).
Les géodésiques sont les trajectoires de chute libre. Lorsque vous vous déplacez en chute libre, vous avez l'impression localement de vous déplacer tout droit en n'étant soumis à aucune force. Lorsque vous vous déplacez en chute libre, votre repère local se déplace aussi : il subit un transport parallèle. Par exemple, dans un ascenseur en chute libre, si les parois servent de référence pour les 3 axes d'espace alors ces parois sont transportées parallèlement.
Mais, puisque l'espace-temps est courbe, vos axes d'espace et de temps, donc votre repère va être influencé par la courbure : c'est la gravitation.
Notez, et c'est crucial, que la courbure ne concerne pas que l'espace mais aussi le temps. L'axe selon lequel vous mesurez votre temps propre est influencé par la gravitation.
Une première conséquence est que vous ne pouvez comparer des vecteurs distants (comme la vitesse et quantité de mouvement) car il n'existe en général pas de repère global couvrant tout l'univers. Donc, le seul moyen est de tout ramener à un repère local grâce auquel vous pourrez effectuez une comparaison des différents vecteurs.
Seulement, à cause de la gravitation, de la courbure, le résultat obtenu dépend du chemin suivi pour ramener un vecteur distant dans votre repère local ! Donc, en général cela n'a pas de sens en relativité générale de parler de conservation de la quantité de mouvement, de l'énergie. De même, la mesure des distances et du temps écoulé entre deux événements est délicate car dépend de la géodésique que l'on considère entre ces deux événements.
Equation d'Einstein
Ainsi, l'espace-temps est courbe et la gravitation n'est que la perception que nous avons de cette courbure. Mais qu'est-ce qui crée cette courbure ? C'est la densité de matière-énergie. Ainsi, la matière-énergie courbe l'espace-temps et cette courbure influence la trajectoire de la matière-énergie.
La relation entre courbure et densité de matière-énergie est donnée par l'équation d'Einstein. C'est l'équation la plus simple que l'on puisse écrire entre une densité d'énergie et la courbure d'un espace-temps.
Cette équation a été extrêmement bien vérifiée dans le voisinage du système solaire, où règnent des champs de gravitation faibles, et indirectement pour des champs de gravitation forts.
Il y a une conséquence inattendue de cette équation. La pression peut-être attractive ! En effet, la pression est répulsive parce que c'est une pression mais étant aussi une densité d'énergie elle crée de la courbure donc de l'attaction. Dans la vie de tous les jours, la partie répulsive est très très largement supérieure à la partie attractive. Mais dans certaines étoiles extrêmement denses l'inverse peut se produire : la pression précipitant alors l'effondrement de l'étoile sur elle-même.
Preuves expérimentales et applications
Applications
Il y a peu d'applications vu que les effets de relativité générale sont sensibles uniquement dans des activités de très grande précision ou à proximité de champs gravitationnels forts.
Il y a deux applications majeures : L'amélioration de la navigation des sonde spatiales via une meilleure définition des repères et grâce à des termes correctifs ajoutés aux équations Newtoniennes du mouvement des corps ; et le GPS !
Le GPS ne pourrait pas fonctionner si les corrections de relativité générale n'avaient pas été prises en compte (comme voulaient le faire les ingénieurs initialement). En effet, les satellites GPS ne sont pas à la même hauteur que nous dans le champ de gravitation et par conséquent leur axe des temps est influencé de façon différente. Ainsi, les fréquences des ondes émises par les satellites vont changer en atteignant le sol. En raison de la grande précision requise par ce système : ce changement doit être modélisé avec grande précision. Il y a trois termes : effet Doppler non relativiste + effet Doppler de relativité restreinte + corrections de relativité générale.
Sans cette dernière correction de relativité générale, il y aurait une erreur de localisation additionnelle de 11km par jour !
Preuves expérimentales
Si la théorie a besoin d'être modifiée dans le futur cela ne concernera que l'équation d'Einstein et probablement que pour les champs forts bien que toute modification reste peu probable en raison de la quantité d'évidences expérimentales. Néanmoins, la notion de courbure de l'espace-temps restera car elle est absolument fondamentale pour expliquer toutes les observations expérimentales.
Il existe des livres entiers consacrés au sujet des preuves expérimentales de la relativité générale ainsi que des articles disponible sur le web. Jusqu'a présent toutes les théories, nombreuses, qui ont tenté de se substituer à la relativité générale ont échoué à un ou plusieurs des tests expérimentaux.
Autrement dit, après presqu' un siècle d'existence, il n'y a plus aucun doute sur la validité de la relativité générale et la nature de la gravitation. L'idée d'une courbure de l'espace-temps est devenue totalement inévitable.
